Question

3．已知函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1-6，x∈[0，1]，
（1）若函數(shù)有零點，求a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）+3a+6≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x，求出t的范圍，令h（t）=t²-2at-6=（t-a）²-a²-6（1≤t≤2），求出方程h（t）=0的根在[0，1]即可；
（2）問題轉化為 t²-2at+3a≥0恒成立．令g（t）=t²-2at+3a，t∈[1，2]．通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值大于等于0即可．

解答 解：（1）∵f（x）=4^x-a•2^x+1-6（0≤x≤1）
∴f（x）=（2^x）²-2a•2^x-6（0≤x≤1）…（2分）
令t=2^x，∵0≤x≤1，∴1≤t≤2；
令h（t）=t²-2at-6=（t-a）²-a²-6（1≤t≤2）…（4分），
令h（t）=0，解得：t=a±$\sqrt{{a}^{2}+6}$，
若函數(shù)h（t）在[1，2]有零點，
則1≤a-$\sqrt{{a}^{2}+6}$≤2或1≤a+$\sqrt{{a}^{2}+6}$≤2，
解得：-$\frac{5}{2}$≤a≤-$\frac{1}{2}$，（8分）
（2）∵f（x）+3a+6≥0恒成立，即t²-2at+3a≥0恒成立．
令g（t）=t²-2at+3a，t∈[1，2]．
對稱軸t=a，
a≤1時：g（t）在[1，2]遞增，
∴只需g（1）=1+a≥0即可，解得：a≥-1，
1＜a＜2時：g（t）在[1，a）遞減，在（a，2]遞增，
∴只需g（a）=3a-a²≥0即可，解得：0≤a≤3，
a≥2時：g（t）在[1，2]遞減，
∴只需g（2）=4-a≥0即可，解得：a≤4，
綜上，-1≤a≤4．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質，是一道中檔題．