Question

10．設(shè)P：關(guān)于x的不等式a^x＜1（a＞0且a≠0）的解集是{x|x＞0}，q：函數(shù)y=lg（ax-x+a）的定義域?yàn)镽，若p∧q為假，p∨q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 P：關(guān)于x的不等式a^x＜1（a＞0且a≠0）的解集是{x|x＞0}，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得0＜a＜1；q：函數(shù)y=lg（ax-x+a）=lg[（a-1）x+a]的定義域?yàn)镽，則（a-1）x+a＞0對(duì)于x∈R恒成立，對(duì)a分類討論即可得出．由于p∧q為假，p∨q為真，可得p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：P：關(guān)于x的不等式a^x＜1（a＞0且a≠0）的解集是{x|x＞0}，∴0＜a＜1；
q：函數(shù)y=lg（ax-x+a）=lg[（a-1）x+a]的定義域?yàn)镽，則（a-1）x+a＞0對(duì)于x∈R恒成立，當(dāng)a-1=0，即a=1時(shí)，滿足題意；當(dāng)a≠1時(shí)，不滿足題意．因此a=1．
若p∧q為假，p∨q為真，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≠1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{a=1}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤1．
∴a的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．