Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{lo{g}_{3}（4x-1）}$$+\sqrt{16-{2}^{x}}$的定義域為A．
（1）求集合A；
（2）若函數(shù)g（x）=（log₂x）²-2log₂x-1，且x∈A，求函數(shù)g（x）的最大最小值和對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）要使函數(shù)有意義，必須4x-1＞0，log₃（4x-1）≥0，16-2^x≥0，解不等式可得集合A；
（2）令log₂x=t（-1≤t≤2），即有函數(shù)y=（log₂x）²-2log₂x-1=t²-2t-1，配方由二次函數(shù)的最值求法，即可得到最值．

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{4x-1＞0}\\{lo{g}_{3}（4x-1）≥0}\\{16-{2}^{x}≥0}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{4}}\\{x≥\frac{1}{2}}\\{x≤4}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤x≤4，
即集合A=[$\frac{1}{2}$，4]；
（2）令log₂x=t（-1≤t≤2），
即有函數(shù)y=（log₂x）²-2log₂x-1=t²-2t-1
=（t-1）²-2，
當(dāng)t=1，即x=2時，取得最小值-2；
當(dāng)t=-1即x=$\frac{1}{2}$時，取得最大值2．

點評 本題考查函數(shù)的定義域的求法，注意偶次根式被開方式非負(fù)和對數(shù)的真數(shù)大于0，同時考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．