Question

8．設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，若在直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上存在點P，使線段PF₁的中垂線過點F₂，則橢圓的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}，1$）．

Answer 1

分析 設x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與x軸的交點為Q，連結PF₂，根據平面幾何的知識可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，且|PF₂|≥|QF₂|，由此得到關于a、c的不等關系，化簡得到關于離心率e的一元二次不等式，求解一元二次不等式后與橢圓離心率的范圍取交集得答案．

解答 解：如圖，
設x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與x軸的交點為Q，連結PF₂，
∵PF₁的中垂線過點F₂，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，可得|PF₂|=2c，
∵|QF₂|=$\frac{{a}^{2}}{c}-c$，且|PF₂|≥|QF₂|，
∴2c≥$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，兩邊都除以a得，
2•$\frac{c}{a}$≥$\frac{a}{c}-\frac{c}{a}$，
即2e≥$\frac{1}{e}-e$，整理得3e²≥1，
解得e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，又e∈（0，1），
∴橢圓的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}，1$）．
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{3}，1$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓離心率的范圍的求法，著重考查平面幾何知識在解圓錐曲線問題中的應用，屬于中檔題．