Question

7．某同學在研究函數(shù)$f（x）=\frac{x}{|x|+2016}$時，得到以下幾個結論：
①函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的值域是[-1，1]；
③函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
④函數(shù)g（x）=f（x）-m（m是常數(shù)）必有一個零點．
其中正確結論的序號為①③．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 充分利用題中的函數(shù)$f（x）=\frac{x}{|x|+2016}$解析式特點，研究函數(shù)的性質，如定義域、值域、奇偶性、單調性、零點等，逐一分析各個選項的正確性．

解答 解：對于①，f（-x）=$\frac{-x}{|-x|+2016}$=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故正確，
對于②函數(shù)f（x）的值域是（-1，1）；故不正確，
對于③設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2016（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+2016）（{x}_{2}+2016）}$＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，故正確；
對于④令函數(shù)g（x）=f（x）-m=0，即f（x）=m，∵由函數(shù)的值域可知：-1＜f（x）＜1，
∴當m≥1或m≤-1時，無解，即函數(shù)g（x）=f（x）-m無零點；故不正確
故答案為：①③．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性，函數(shù)值域及函數(shù)的零點．