Question

2．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，己知a_n＞0，a_n²+3a_n=6S_n+4．
（I）求{a_n}的通項公式：
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關系與等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵a_n²+3a_n=6S_n+4，∴當n=1時，${a}_{1}^{2}+3{a}_{1}$=6a₁+4，a₁＞0，解得a₁=4．
當n≥2時，${a}_{n-1}^{2}$+a_n-1=6S_n-1+4，可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=3，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為4，公差為3．
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n+1）（3n+4）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+4}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）$+…+$（\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+4}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{3n+4}）$
=$\frac{n}{4（3n+4）}$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．