Question

17．（1）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n=n²-2n+1，求a_n．
（2）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足log₂（S_n+1）=n+1，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²-2n+1，可得a₁=0；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（2）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足log₂（S_n+1）=n+1，可得S_n=2ⁿ⁺¹-1．利用遞推關(guān)系同理可得．

解答 解：（1）∵S_n=n²-2n+1，∴a₁=0；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n+1-[（n-1）²-2（n-1）+1]=2n-3．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-3，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足log₂（S_n+1）=n+1，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-1．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2²-1=3；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ-1）=2ⁿ．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．