Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^2x-ae^x+2x是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]．

Answer 1

分析 令f′（x）≥0在R上恒成立，使用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題解決．

解答 解：f′（x）=2e^2x-ae^x+2，
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f′（x））=2e^2x-ae^x+2≥0在R上恒成立，
設(shè)e^x=t，則t＞0，
∴2t²-at+2≥0在（0，+∞）上恒成立，
（1）若△=a²-16≤0，解得-4≤a≤4．顯然符合題意．
（2）若△=a²-16＞0，即a＜-4或a＞4時(shí)，只需令2t²-at+2=0有兩個(gè)負(fù)根即可．
∴$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0．
∴a＜-4．
綜上，a的取值范圍是a≤4．
故答案為：（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想，屬于中檔題．