Question

6．已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足$\frac{1}{e}≤\frac{c}{a}$≤2，clnb=a+clnc，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ln$\frac{a}$的取值范圍是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． $[{1，\frac{1}{2}+ln2}]$
• C． （-∞，e-1]
• D． [1，e-1]

Answer 1

分析 由clnb=a+clnc化為lnb=$\frac{a}{c}$+lnc，可得ln$\frac{a}$=lnlnb-lna=$\frac{a}{c}$+lnc-lna=$\frac{a}{c}$+ln $\frac{c}{a}$，令 $\frac{c}{a}$=x，可得ln $\frac{a}$=f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，$\frac{1}{e}$≤x≤2．再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答 解：由clnb=a+clnc化為lnb=$\frac{a}{c}$+lnc，
∴l(xiāng)n$\frac{a}$=lnb-lna=$\frac{a}{c}$+lnc-lna=$\frac{a}{c}$+ln$\frac{c}{a}$，
令$\frac{c}{a}$=x，則ln$\frac{a}$=f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，$\frac{1}{e}$≤x≤2．
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（1）=1+ln1=1．
又f（2）=$\frac{1}{2}$+ln2，f（$\frac{1}{e}$）=e+ln$\frac{1}{e}$=e-1，
f（$\frac{1}{e}$）-f（2）=e-ln2-$\frac{3}{2}$＞e-lne-$\frac{3}{2}$=e-2.5＞0，
∴e-1＞$\frac{1}{2}$+ln2，
因此f（x）的最大值為e-1．
綜上可得：f（x）∈[1，e-1]．
即ln$\frac{a}$的取值范圍是[1，e-1]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了經(jīng)過(guò)變形把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．