Question

3．已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-3．
（1）當(dāng)x＜0時，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（3）解方程f（x）=2x．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0，則-x＞0，結(jié)合奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-3，可得當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x=0時，f（x）=0，結(jié)合（1）中結(jié)合，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（3）結(jié)合（2）中函數(shù)的解析式，分類討論滿足f（x）=2x的x值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=（-x）²-3=x²-3，
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-x²+3，
（2）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=-f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+3，x＜0\\ 0，x=0\\{x}^{2}-3，x＞0\end{array}\right.$
（3）當(dāng)x=0時，方程f（x）=0=2x，解之得x=0；
當(dāng)x＞0時，方程f（x）=x²-3=2x，解之得x=3，或x=-1（舍去）；
當(dāng)x＜0時，方程f（x）=-x²+3=2x，解之得x=-3，或x=1（舍去）；
綜上所述，方程f（x）=2x的解集為{-3，0，3}

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．