Question

14．函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一個周期內(nèi)，當x=$\frac{π}{4}$時y取最大值1，當x=$\frac{7π}{12}$時，y取最小值-1．
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）
（Ⅱ）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到y(tǒng)=f（x）的圖象？
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過當x=$\frac{π}{4}$時y取最大值1，當x=$\frac{7π}{12}$時，y取最小值-1．求出函數(shù)的周期，利用最值求出φ，即可求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．
（Ⅲ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵當x=$\frac{π}{4}$時y取最大值1，當x=$\frac{7π}{12}$時，y取最小值-1．
∴T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∴ω=3．----（4分）
∵sin（$\frac{3}{4}$π+φ）=1，
∴$\frac{3}{4}$π+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴可得 φ=-$\frac{π}{4}$，------（6分）
∴函數(shù) f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）．-------（7分）
（Ⅱ）y=sinx的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位得y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象
再由y=sin（x-$\frac{π}{4}$）圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$．縱坐標不變，
得到y(tǒng)=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的圖象，-----------（9分）
（Ⅲ）令2k$π+\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，（k∈Z），
求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{4}$，$\frac{2kπ}{3}+\frac{7π}{12}$]．-----------（13分）

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．