Question

2．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=120°，AB=AC=1，AA₁=2，若棱AA₁在正視圖的投影面α內(nèi)，且AB與投影面α所成角為為θ（30°≤θ≤60°），設(shè)正視圖的面積為m，側(cè)視圖的面積為n，當(dāng)θ變化時，mn的值不可能是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，求出AB與投影面α所成角為為θ時，mn的取值范圍，進(jìn)而分析四個答案哪一個不在該范圍內(nèi)，可得答案．

解答 解：AB與投影面α所成角為為θ時，平面ABC如下圖所示：

∵∠BAC=120°，AB=AC=1，AA₁=2，∠BAD=θ，
∴BC=$\sqrt{3}$，∠BFD=θ-30°，
∴BD=sinθ，DE=$\sqrt{3}$cos（θ-30°），
故m=2$\sqrt{3}$cos（θ-30°），n=$\sqrt{3}$sinθ，
∴mn=6sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=3$\sqrt{3}$sinθcosθ+3sin²θ=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin2θ+$\frac{3}{2}$（1-cos2θ）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin2θ-$\frac{3}{2}$cos2θ+$\frac{3}{2}$=3sin（2θ-30°）+$\frac{3}{2}$，
∵30°≤θ≤60°
∴30°≤2θ-30°≤90°，
故3≤3sin（2θ-30°）+$\frac{3}{2}$≤$\frac{9}{2}$，
∵$\sqrt{3}$∈[3，$\frac{9}{2}$]，
故mn的值不可能是$\sqrt{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是三視圖，三角恒等變換，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是三角函數(shù)與立體幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．