Question

12．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且經(jīng)過定點(diǎn)$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（x+1）交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義，求出a，結(jié)合c=1，求出b，即可由此能求出橢圓方程．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）\end{array}\right.$，消去y得，2x²+2x-1=0，由此利用弦長(zhǎng)公式能夠求出張段AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，
即$2a=\sqrt{{{（-1-1）}^2}+{{（0-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}+\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（0-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=2\sqrt{2}$，
∴$a=\sqrt{2}$，
又c=1，∴b²=a²-c²=1．…（4分）
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）\end{array}\right.$，
消去y得，2x²+2x-1=0且△=2²-4×2×（-1）＞0，…8 分
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理可知x₁+x₂=-1，${x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}$，…10 分
由弦長(zhǎng)公式可得$|{AB}|=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．…12 分

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．