Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5，（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最小值g（a）的表達(dá)式
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是單調(diào)遞減的，且對于任意的x₁、x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-
    f（x₂）|≤4，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分對稱軸和閉區(qū)間的三種位置關(guān)系：軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間來討論即可；
（2）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得a≥2．故只要f（1）-f（a）≤4即可，即（a-1）²≤4，求得a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+5-a²，對稱軸是x=a，
當(dāng)a＜-2時，f（x）=x²-2ax+5在[-2，2]上是增函數(shù)，
故最小值g（a）=f（-2）=9+4a；
當(dāng)a＞2時，f（x）=x²-2ax+5在[-2，2]上是減函數(shù)，
故最小值g（a）=f（2）=9-4a；
當(dāng)-2≤a≤2時，f（x）=x²-2ax+5在[-2，2]的最小值g（a）=f（a）=5-a²，
綜上得，二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+5在[-2，2]上的最小值
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{9+4a，a＜-2}\\{5-{a}^{2}，-2≤a≤2}\\{9-4a，a＞2}\end{array}\right.$．
（2）由于函數(shù)f（x）=x²-2ax+5的圖象的對稱軸為x=a，
函數(shù)f（x）=x²-2ax+5在區(qū)間（-∞，2]上單調(diào)遞減，即有a≥2．
故在區(qū)間∈[1，a+1]上，1離對稱軸x=a最遠(yuǎn)，
故要使對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
只要f（1）-f（a）≤4即可，即（a-1）²≤4，求得-1≤a≤3．
再結(jié)合 a≥2，可得2≤a≤3，
則a的取值范圍是[2，3]．

點評 本題的實質(zhì)是求二次函數(shù)的最值問題，關(guān)于解析式中帶參數(shù)的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置，同時考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．