Question

18．如圖，在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F(xiàn)為CD的中點．
（Ⅰ）求平面ABC和平面CDE所成角的大小；
（Ⅱ）求點A到平面BCD的距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明AF⊥平面CDE．以F為原點，過F平行于DE的直線為x軸，F(xiàn)C，F(xiàn)A所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，求出平面ABC的一個法向量$\overrightarrow{n}$，平面CDE的一個法向量，利用向量的數(shù)量積求解平面ABC與平面CDE所成二面角的大�。�
（2）設(shè)AB=x，連BF，過A作AH⊥BF，垂足為H，線段AH的長即為點A到平面BCD的距離．通過在Rt△AFB中，求解AH的表達式，推出范圍即可．

解答 解：（1）：AB⊥平面ACD，DE∥AB，可得AC=AD=CD=DE=2，F(xiàn)為CD的中點．DE⊥AF，AF⊥DC，
∴AF⊥平面CDE．
以F為原點，過F平行于DE的直線為x軸，F(xiàn)C，F(xiàn)A所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
∵AC=2，∴A（0，0，$\sqrt{3}$），設(shè)AB=x，
所以B（x，0，$\sqrt{3}$），C（0，1，0）
所以$\overrightarrow{AB}$=（x，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則由$\overrightarrow{AB}$?$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{AC}$?$\overrightarrow{n}$=0，得a=0，b=$\sqrt{3}$c，不妨取c=1，
則$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1）．
∵AF⊥平面CDE，∴平面CDE的一個法向量為（0，0，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{FA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{FA}\right|}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{FA}$＞=60°．
∴平面ABC與平面CDE所成的二面角的大小為60°．
（2）設(shè)AB=x，則x＞0．∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．
又∵AF⊥CD，AB?平面ABF，AF?平面ABF，AB∩AF=A，
∴CD⊥平面ABF．
∵CD?平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD．
連BF，過A作AH⊥BF，垂足為H，則AH⊥平面BCD．
線段AH的長即為點A到平面BCD的距離．
在Rt△AFB中，AB=x，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
∴BF=$\sqrt{3+{x}^{2}}$，
∴AH=$\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3+{x}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{3}{{x}^{2}}+1}}$∈（0，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判斷，點、線、面距離的求法，可得空間想象能力以及計算能力．