Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，底面ABC等邊三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC₁的中點．求證：
（Ⅰ） EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ） 平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形中位線定理得EF∥BC₁，由此能證明EF∥平面A₁BC₁．
（Ⅱ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得AE⊥BB₁，由正三角形性質(zhì)得AE⊥BC，由此能證明平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

解答 證明：（Ⅰ）因為E，F(xiàn)分別是BC，CC₁的中點，
所以EF∥BC₁．
又因為BC₁?平面A₁BC₁，EF?平面A₁BC₁，
所以EF∥平面A₁BC₁．（6分）
（Ⅱ）因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以BB₁⊥平面ABC．又AE?平面ABC，
所以AE⊥BB₁．
又因為△ABC為正三角形，E為BC的中點，
所以AE⊥BC．
又BB₁∩BC=B，所以AE⊥平面BCC₁B₁．
又AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC₁B₁．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．