Question

10．如圖，在三棱錐E-ABC中，平面EAB⊥平面ABC，三角形EAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分別為AB、EA中點(diǎn)．
（1）求證：EB∥平面MOC；
（2）求證：平面MOC⊥平面EAB；
（3）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由中位線定理可得OM∥BE，故而EB∥平面MOC；
（2）由等腰三角形三線合一可得OC⊥AB，由平面EAB⊥平面ABC可得OC⊥平面EAB，故而平面MOC⊥平面EAB；
（3）連結(jié)OE，則OE為棱錐的高，利用等邊三角形的性質(zhì)求出OE，代入體積計(jì)算．

解答 證明：（1）證明：∵O，M分別為AB，EA的中點(diǎn)，∴OM∥BE，
又∵EB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴EB∥平面MOC．
（2）∵AC=BC，O 為AB中點(diǎn)，∴OC⊥AB，
又∵平面EAB⊥平面ABC，平面EAB∩平面ABC=AB，
∴OC⊥平面EAB，又∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面 EAB．
（3）連結(jié)OE，則OE⊥AB，
又∵平面EAB⊥平面ABC，平面EAB∩平面ABC=AB，OE?平面EAB，
∴OE⊥平面ABC．
∵AC⊥BC，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2，
∵三角形EAB為等邊三角形，∴OE=$\sqrt{3}$．
∴三棱錐E-ABC的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$•EO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．