Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{n}=1$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)是橢圓C的右焦點．過點F且斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，O是坐標原點．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線在y軸的截距為$\frac{2}{3}$，求k的值；
（Ⅲ）是否存在點P（t，0），使得PF為∠APB的平分線？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得n=4；
（Ⅱ）求得橢圓方程，設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，計算即可得到所求值；
（Ⅲ）假設(shè)存在點P（t，0），使得PF為∠APB的平分線，即有直線PA和PB的斜率之和為0，運用韋達定理和斜率公式，化簡整理，解方程可得t，即可判斷存在．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=2$\sqrt{2}$，
即有c=2，b=2，
即有n=4；
（Ⅱ）橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，F(xiàn)（2，0），
直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
AB的中點為（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，k（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2）），
即為（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$），
由題意可得$\frac{\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}-\frac{2}{3}}{\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，解得k=1或$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）假設(shè)存在點P（t，0），使得PF為∠APB的平分線，
即有直線PA和PB的斜率之和為0，
即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，由y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
即有2x₁x₂-（2+t）（x₁+x₂）+4t=0，
代入韋達定理，可得$\frac{16{k}^{2}-16}{1+2{k}^{2}}$-（2+t）•$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4t=0，
化簡可得t=4．
即有存在點P（4，0），使得PF為∠APB的平分線．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，同時考查直線的斜率公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．