Question

20．已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心（三條中線的交點），AB邊的中點為D．動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}）$，則點P一定為△ABC的（　�。�

• A． 線段CD的中點
• B． 線段CD靠近C的四等分點
• C． 重心
• D． 線段CD靠近C的三等分點

Answer 1

分析 可畫出圖形，由條件可以得到$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OD}$，從而便可得出$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{DO}$，這樣即可得到$PC=\frac{1}{3}CD$，從而得出點P為△ABC的線段CD靠近C的三等分點．

解答 解：如圖，根據(jù)條件：
$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OD}-4\overrightarrow{OD}）=\overrightarrow{DO}$；
∴$PC=\frac{1}{3}CD$；
∴點P一定為△ABC的線段CD靠近C的三等分點．
故選：D．

點評 考查三角形重心的概念，重心的性質：重心到頂點距離是它到對邊中點距離的2倍，以及向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算．