Question

12．若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意正整數(shù)n都有6S_n=1-2a_n，記b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列$\{\frac{b_n}{2^n}\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）$6{S_1}=1-2{a_1}⇒{a_1}=\frac{1}{8}$，6S_n-1=1-2a_n-1（n＞1）①
6S_n=1-2a_n②
②-①得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{4}（n＞1）$，
所以{a_n}是等比數(shù)列，${a_n}=\frac{1}{8}•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^{2n+1}}$，b_n=2n+1．
（2）設(shè)$\{\frac{b_n}{2^n}\}$的前P項和為T_n，由 （1）$\frac{b_n}{2^n}=\frac{2n+1}{2^n}$，
則${T_n}=\frac{3}{2^1}+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n+1}{2^n}$，
故$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+…+\frac{2n-1}{2^n}+\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{2}+2（{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}}）-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}+（{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
所以${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．