Question

8．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{5}{13}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），求cos（α-β），sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，sinβ的值，利用兩角差的余弦函數(shù)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算求值．

解答 解：∵cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{5}{13}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\sqrt{1-\frac{25}{169}}$=$\frac{12}{13}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}+\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{63}{65}$，
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．