7．過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的一條直線與它交于P，Q兩點，過點P和此拋物線頂點的直線與準線交于點M．求證直線MQ平行于此拋物線的對稱軸．

分析 設(shè)直線PQ為x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，代入拋物線y2=2px，得到y(tǒng)2-2pky-p2=0，由韋達定理得y1•y2=-p2；再證明M，Q的縱坐標相同即可．

解答 證明：拋物線y2=2px的焦點坐標為（$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)直線PQ為x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，
代入拋物線y2=2px得：
y2=2p（ky+$\frac{p}{2}$），即y2-2pky-p2=0
由韋達定理得：y1•y2=-p2；
直線OP的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•x，
x=-$\frac{p}{2}$時，y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{p}{2}$=-$\frac{p}{2}$•$\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}}$=-$\frac{{p}^{2}}{{y}_{1}}$=y2，
即有直線MQ平行于此拋物線的對稱軸．

點評 本題考查直線與拋物線之間的關(guān)系，利用方程聯(lián)立得到方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論是關(guān)鍵．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒有交點，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=4f（x）+${\;}^{\frac{1}{2}}$x+m•2x-1，x∈[0，log23]，是否存在實數(shù)m使得h（x）最小值為0，若存在，求出m的值； 若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．已知x＞0，y＞0，且x+y=1．
（1）證明：$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥9；
（2）求$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

15．設(shè)a1，a2，…a2014都是正數(shù)且a1+a2+…+a2014=1．則$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2+{a}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{2+{a}_{2}}$+…$\frac{{{a}_{2013}}^{2}}{2+{a}_{2013}}$+$\frac{{{a}_{2014}}^{2}}{2+{a}_{2014}}$的最小值為$\frac{1}{4029}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知tanα=2，求sin2α-sinαcosα+2，$\frac{si{n}^{3}α-cosα}{5sinα+3cosα}$的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．已知命題p：?x∈R，x2+（a-1）x+1≥0成立，命題q：?x0∈R，ax${\;}_{0}^{2}$-2ax0-3＞0不成立，若p假q 真．求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的圖象過原點，且關(guān)于點（-1，2）成中心對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=f（an），試證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$}成等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，CF：FB=2：1，那么$\overrightarrow{EF}$=（　�。�
A．$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$B．$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$C．$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$D．$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．有一道解三角形的題目，因紙張破損有一個條件模糊不清，具體如下：“在△ABC中，已知$a=\sqrt{3}$，$B=\frac{π}{4}$，$A=\frac{π}{6}$（或$C=\frac{7π}{12}$），求b．”若破損處的條件為三角形的一個內(nèi)角的大小，且答案提示$b=\sqrt{6}$．試在橫線上將條件補充完整．

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