Question

6．已知y=f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，任意實數(shù)x₁，x₂滿足x₁＜x₂，λ≠-1，α=$\frac{{x}_{1}+λ{(lán)x}_{2}}{1+λ}$，β=$\frac{λ{(lán)x}_{1}+{x}_{2}}{1+λ}$，若|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|恒成立，則有（　　）

• A． 0＜λ＜1
• B． λ=0
• C． λ＜0且λ≠-1
• D． λ≥1

Answer 1

分析 對抽象函數(shù)的理解，可以用簡單的一次函數(shù)模擬，幫助分析，由單調(diào)函數(shù)可得|α-β|＞|x₁-x₂|，代入可得|1-λ|＞|1+λ|，兩邊平方，解出即可．

解答 解：∵y=f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)而|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，
易得：α+β=x₁+x₂，
若為遞減函數(shù)如圖：

遞增函數(shù)同理可得，
∴|α-β|＞|x₁-x₂|
將α=$\frac{{x}_{1}+λ{(lán)x}_{2}}{1+λ}$，β=$\frac{λ{(lán)x}_{1}+{x}_{2}}{1+λ}$，代入得
|1-λ||x₁-x₂|＞|x₁-x₂|而x₁≠x₂，
∴|1-λ|＞|1+λ|，
∴4λ＜0，解得λ＜0，又λ≠-1，
故選：C．

點評 考查了抽象函數(shù)的理解，難點是如何得出|α-β|＞|x₁-x₂|．