Question

4．某高校專家樓前現(xiàn)有一塊矩形草坪ABCD，已知草坪長(zhǎng)AB=100米，寬BC=50$\sqrt{3}$米，為了便于專家平時(shí)工作、起居，該高校計(jì)劃在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且∠EHF為直角，如圖所示．
（Ⅰ）設(shè)∠CHE=x（弧度），試將三條路的全長(zhǎng)（即△HEF的周長(zhǎng)）L表示成x的函數(shù)，并求出此函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）這三條路，每米鋪設(shè)預(yù)算費(fèi)用均為400元，試問如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用（結(jié)果保留整數(shù)）（可能用到的參考值：$\sqrt{3}$取1.732，$\sqrt{2}$取1.414）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要將△HEF的周長(zhǎng)L表示成x的函數(shù)關(guān)系式，需把△HEF的三邊分別用含有x的關(guān)系式來(lái)表示，從而可求．
（Ⅱ）要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求△HEF的周長(zhǎng)L的最小值即可．利用換元法，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵在Rt△CHE中，CH=50，∠C=90°，∠CHE=x，
∴HE=$\frac{50}{cosx}$
在Rt△HDF中，HD=50，∠D=90°，∠DFH=x，
∴HF=$\frac{50}{sinx}$．
又∠EOF=90°，
∴EF=$\frac{50}{sinxcosx}$，
∴三條路的全長(zhǎng)（即△HEF的周長(zhǎng)）L=$\frac{50（sinx+cosx+1）}{sinxcosx}$．
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D時(shí)，這時(shí)角x最小，求得此時(shí)x=$\frac{π}{6}$；
當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角x最大，求得此時(shí)x=$\frac{π}{3}$．
故此函數(shù)的定義域?yàn)閇$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]；
（Ⅱ）由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求△OEF的周長(zhǎng)L的最小值即可．
由（Ⅰ）得L=$\frac{50（sinx+cosx+1）}{sinxcosx}$，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
設(shè)sinx+cosx=t，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴L=$\frac{100}{t-1}$
由t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
得$\frac{\sqrt{3}+1}{2}≤t≤\sqrt{2}$，
從而$\sqrt{2}$+1≤$\frac{1}{t-1}$≤$\sqrt{3}$+1，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$，即CE=50時(shí)，L_min=100（$\sqrt{2}+1$），
所以當(dāng)CE=DF=50米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為96560元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，及推理運(yùn)算的能力．