Question

4．如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，$AB=AD=\frac{1}{2}CD=2$，$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EC}（0＜λ＜1）$．
（1）當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；
（2）若平面BDM與平面ABF所成銳角二面角的余弦值為$\frac{1}{{\sqrt{38}}}$時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）取DE中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，則由中位線定理可得BM∥AN，從而B(niǎo)M∥平面ADEF；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面ABF和平面BDM的法向量，根據(jù)法向量夾角與二面角的關(guān)系列方程解出λ．

解答 證明：（1）取DE中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，
當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，M為EC中點(diǎn)，又N是DE中點(diǎn)，
∴MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}CD$．
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴AB∥MN，AB=MN．
∴四邊形ABMN是平行四邊形，
∴BM∥AN，∵AN?平面ADEF，BM?平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系如圖：
則$\overrightarrow{AD}$為平面ABF的一個(gè)法向量，$\overrightarrow{AD}=（-2，0，0）$．
$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{DM}$=（0，4λ，2-2λ）．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面BDM的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{4λy+2z-2λz=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2-2λ}{4λ}$，$\frac{2λ-2}{4λ}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{λ-1}{\sqrt{6{λ}^{2}-4λ+2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{38}}$．
解得$λ=\frac{3}{2}$（舍）或λ=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，二面角的求法，屬于中檔題．