Question

9．已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，y≤$\sqrt{x}$}，若向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{8}{27}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 作出Ω對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的Rt△OBC，求出它的面積S，作出A表示的平面區(qū)域是在區(qū)域Ω內(nèi)部的圖形，利用定積分公式算出A對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積S₁，利用幾何概型公式求出對(duì)應(yīng)的概率．

解答 解：∵Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，
作出Ω對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的Rt△OBC，
其中B（6，0），C（0，6）；
又A={（x，y）|x≤4，y≥0，y≤$\sqrt{x}$}，
∴作出A對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到曲線y=$\sqrt{x}$下方、直線x=4左邊，
且在x軸上方的平面區(qū)域，
其面積為S₁=${∫}_{0}^{4}$$\sqrt{x}$dx=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{4}$=$\frac{2}{3}$×${4}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{16}{3}$
∵Rt_△OBC的面積為S=$\frac{1}{2}$×6×6=18
∴向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率P=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{16}{3}}{18}$=$\frac{8}{27}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出兩個(gè)由不等式組確定的平面區(qū)域Ω和A，求向區(qū)域Ω內(nèi)投點(diǎn)能使點(diǎn)落在A內(nèi)的概率．著重考查了運(yùn)用定積分公式計(jì)算曲邊三角形的面積和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，是中檔題．