Question

5．已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞0，且f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）；
（2）證明：f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）+f（x-2）≥2．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法令x=y=1，即可求f（1）的值；
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明：f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式f（x（x-2））≥f（9），注意定義域的運(yùn)用．

解答 解：（1）∵對(duì)任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，結(jié)合f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
（2）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
即有f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）∵f（3）=1，即有f（9）=2f（3）=2，
∴不等式f（x）+f（x-2）≥2等價(jià)為f（x（x-2））≥f（9），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-2）≥9}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞2}\\{x≥1+\sqrt{10}或x≤1-\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
解得x≥1+$\sqrt{10}$，
即不等式的解集為[1+$\sqrt{10}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．