Question

19．已知$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，求：
（Ⅰ）z=x+2y-4的最大值；
（Ⅱ）z=$\frac{2y+1}{x+1}$的范圍；
（III）z=x²+y²-10y+25的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案；
（Ⅱ）由z=$\frac{2y+1}{x+1}$=$2\frac{y+\frac{1}{2}}{x+1}$，然后利用其幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點（-1，-$\frac{1}{2}$）連線的斜率求解；
（Ⅲ）由z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，再利用其幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點（0，5）距離的平方求解．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{y≥-1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

（Ⅰ）由z=x+2y-4，得$y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}+2$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解得B（-1，2），
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}+2$過B時，z=x+2y-4取得最大值為-1；
（Ⅱ）z=$\frac{2y+1}{x+1}$=$2\frac{y+\frac{1}{2}}{x+1}$，其幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點（-1，-$\frac{1}{2}$）連線的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{1+\frac{1}{2}}{0+1}=\frac{3}{2}$，
∴z=$\frac{2y+1}{x+1}$的范圍是[$\frac{3}{2}，+∞$）；
（Ⅲ）z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，
其幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點（0，5）距離的平方，
由圖可知，其最小值為（-1-0）²+（2-5）²=10．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．