Question

20．已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程：（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+（a²-1）=0（a＞0）．
（1）試討論點(diǎn)P的軌跡C；
（2）當(dāng)a=$\sqrt{2}$時(shí)，直線(xiàn)y=x+b與軌跡C交于兩點(diǎn)M、N，若∠MON=90°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求b的值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a分類(lèi)討論，即可討論點(diǎn)P的軌跡C；
（2）∠MON=90°，可得O到直線(xiàn)MN的距離$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}$=2，即可求b的值．

解答 解：（1）a＞0，a≠1，方程：（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+（a²-1）=0（a＞0）．
可化為（x-$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$）²+y²=1+（$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$）²，軌跡表示圓；
a=-1，方程：（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+（a²-1）=0（a＞0）．
可化為x=0，表示y軸；
（2）當(dāng)a=$\sqrt{2}$時(shí)，方程可化為（x-3）²+y²=8，
∵∠MON=90°，
∴O到直線(xiàn)MN的距離$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}$=2，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=2，
∴b=±2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 解決直線(xiàn)與圓相交問(wèn)題，常通過(guò)解半徑、圓心距、及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形．