Question

2．如果直線kx+y+2=0（k≠0）上存在一點(diǎn)P（x，y），過(guò)點(diǎn)P作圓x²+y²-2x-2y+1=0的切線，切點(diǎn)是T，若PT的最小值是2$\sqrt{2}$，則實(shí)數(shù)k的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，作出圖形，由題意求得圓心到直線的距離，再代入點(diǎn)到直線的距離公式求得實(shí)數(shù)k的值．

解答 解：由x²+y²-2x-2y+1=0，得（x-1）²+（y-1）²=1，
圓的圓心坐標(biāo)為M（1，1），半徑為1，直線kx+y+2=0（k≠0）過(guò)定點(diǎn)（0，-2），
如圖，

若PT的最小值是2$\sqrt{2}$，則圓心M到直線kx+y+2=0的距離為d=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$．
再由點(diǎn)到直線的距離公式得：d=$\frac{|k+1+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=3$，解得：k=0（舍）或k=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線方程，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．