Question

16．已知圓C過點P（$\sqrt{2}$，0）且與圓M：（x+4）²+（y+4）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+4=0對稱，定點R的坐標(biāo)為（1，-1）
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)Q為圓上的一個動點，求$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值；
（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點，試判斷直線OP和直線AB是否平行，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）確定圓心與半徑，我們可以求出圓C的方程；
（2）設(shè)Q（x，y），則x²+y²=2，且$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=（x-1，y+1）•（x+4，y+4）=x²+y²+3x+5y=3x+5y+2，由此利用圓的參數(shù)方程能求出$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值．
（3）由已知中直線PA和直線PB與x軸分別交于點G、H，且∠PGH=∠PHG，可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，設(shè)PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），求出A，B坐標(biāo)后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB斜率是否相等，即可得到答案．

解答 （1）解：由題意可得點C和點M（-4，-4）關(guān)于直線x+y+4=0對稱，
且圓C和圓M的半徑相等，都等于r．
設(shè)C（m，n），由$\frac{m+4}{n+4}$•（-1）=-1，
且$\frac{m-4}{2}$+$\frac{n-4}{2}$+4=0，
求得m=0，n=0，
故原C的方程為x²+y²=r²．
再把點P（$\sqrt{2}$，0）代入圓C的方程，求得r=$\sqrt{2}$，
故圓的方程為 x²+y²=2．
（2）設(shè)Q（x，y），則x²+y²=2，
且$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=（x-1，y+1）•（x+4，y+4）=x²+y²+3x+5y=3x+5y+2，
令x=$\sqrt{2}$cosθ，y=$\sqrt{2}$sinθ，
∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=3$\sqrt{2}$cosθ+5$\sqrt{2}$sinθ+2=4$\sqrt{3}$sin（θ+α），
∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值為-4$\sqrt{3}$；
（3）證明：過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，
且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點，
則得直線OP和AB平行，
理由如下：由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，
故可設(shè)PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1）．
與x²+y²=2聯(lián)立，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
因為P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，故可得x_A=$\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$．
同理，所以x_B=$\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$．
由于AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=1=k_OP （OP的斜率），
所以，直線AB和OP一定平行．

點評 本題考查的知識點是直線和圓的方程的應(yīng)用，關(guān)于直線對稱的圓的方程，其中根據(jù)已知條件求出圓C的方程是解答本題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．