Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c-2，若關(guān)于x的不等式-2≤f（x）≤2的解集為[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]（x₂＜x₃），則W=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）的最小值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知f（x₁）=f（x₄）=2，f（x₂）=f（x₃）=-2，利用跟與系數(shù)的關(guān)系可用b，c表示出x₄-x₁，x_2-x₃，
將W化簡(jiǎn)為2$\sqrt{^{2}-4c+16}$-$\sqrt{^{2}-4c}$，令$\sqrt{^{2}-4c}$=t，然后使用換元法求出W的最小值．

解答 解：∵-2≤f（x）≤2的解集為[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]（x₂＜x₃），
∴f（x₁）=f（x₄）=2，
f（x₂）=f（x₃）=-2，
即x₁，x₄是方程x²+bx+c-4=0的兩根，
x₂，x₃是方程x²+bx+c=0的兩根．
∴x₁+x₄=-b，x₁x₄=c-4．
x₂+x₃=-b，x₂x₃=c．
且b²-4c＞0．
∵（x₄-x₁）²=（x₄+x₁）²-4x₄x₁=b²-4c+16，
（x₂-x₃）²=（x₂+x₃）²-4x₂x₃=b²-4c．
∴x₄-x₁=$\sqrt{^{2}-4c+16}$，
x₂-x₃=-$\sqrt{^{2}-4c}$．
∴W=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）=2（x₄-x₁）+x₂-x₃
=2$\sqrt{^{2}-4c+16}$-$\sqrt{^{2}-4c}$．
令$\sqrt{^{2}-4c}$=t，則t＞0
∴W（t）=2$\sqrt{t+16}$-$\sqrt{t}$，
W′（t）=$\frac{1}{\sqrt{t+16}}$-$\frac{1}{2\sqrt{t}}$．
令W′（t）=0得$\sqrt{t+16}$=2$\sqrt{t}$，解得t=$\frac{16}{3}$．
當(dāng)0＜t＜$\frac{16}{3}$時(shí)，W′（t）＜0；當(dāng)t＞$\frac{16}{3}$時(shí)，W′（t）＞0．
∴當(dāng)t=$\frac{16}{3}$時(shí)，W（t）取得最小值W（$\frac{16}{3}$）=2$\sqrt{\frac{16}{3}+16}$-$\sqrt{\frac{16}{3}}$=4$\sqrt{3}$．
故答案為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式，換元法及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合題．