Question

14．若y═ax+b為函數(shù)f（x）=$\frac{xlnx-1}{x}$圖象的一條切線，則a+b的最小值為（　　）

• A． -4
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求得切線的斜率，用m表示a，b，可令g（m）=lnm-1-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{xlnx-1}{x}$=lnx-$\frac{1}{x}$，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
n=lnm-$\frac{1}{m}$=am+b，
可得b=lnm-1-$\frac{2}{m}$，
則a+b=lnm-1-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
g（m）=lnm-1-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{2}{{m}^{3}}$=$\frac{（m+2）（m-1）}{{m}^{3}}$，
由m＞0，可得m＞1時(shí)，g′（m）＞0，g（m）遞增；
0＜m＜1時(shí)，g′（m）＜0，g（m）遞減．
即有m=1處取得最小值，且為ln1-1-1+1=-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．