Question

20．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，f′（x）是其導(dǎo)函數(shù)，若 $\frac{f（x）}{f′（x）}$＞x，則下列不等關(guān)系成立的是（　�。�

• A． f（2）＜2f（1）
• B． 3f（2）＞2f（3）
• C． ef（e）＜f（e²）
• D． ef（e²）＞f（e³）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求導(dǎo)g′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$，從而可判斷函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，故g′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，f′（x）是其導(dǎo)函數(shù)，
∴f′（x）＜0，
∵$\frac{f（x）}{f′（x）}$＞x，
∴xf′（x）-f（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故$\frac{f（3）}{3}$＞$\frac{f（2）}{2}$＞$\frac{f（1）}{1}$，$\frac{f（{e}^{3}）}{{e}^{3}}$＞$\frac{f（{e}^{2}）}{{e}^{2}}$＞$\frac{f（e）}{e}$，
故2f（3）＞3f（2），f（2）＞2f（1），
f（e³）＞ef（e²），ef（e）＜f（e²）；
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．