Question

5．有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)分別為p（單位：萬(wàn)元）和q（單位：萬(wàn)元），它們與投入資金M（單位：萬(wàn)元）的關(guān)系有近似滿足下列公式，p=$\frac{1}{5}$M，Q=$\frac{3}{5}$$\sqrt{M}$．現(xiàn)有a（a＞0）萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)兩種商品，為獲得最大的利潤(rùn)，應(yīng)對(duì)這兩種商品分別投入資金多少萬(wàn)元？獲得的最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析 設(shè)對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別為a-x，x萬(wàn)元，設(shè)獲取利潤(rùn)為s，則s=$\frac{1}{5}$（a-x）+$\frac{3}{5}$$\sqrt{x}$，分類(lèi)討論，求s的最大值，并求出此時(shí)x的值．

解答 解：設(shè)對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別為a-x，x萬(wàn)元，設(shè)獲取利潤(rùn)為s，
則s=$\frac{1}{5}$（a-x）+$\frac{3}{5}$$\sqrt{x}$，
設(shè)$\sqrt{x}$=t（0＜t≤$\sqrt{a}$），s=$\frac{1}{5}$（a-t²）+$\frac{3}{5}$t=-$\frac{1}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{20}$+$\frac{1}{5}$a，
∴$\sqrt{a}$＜$\frac{3}{2}$，即a＜$\frac{9}{4}$時(shí)，t=$\sqrt{a}$，x=a，a-x=0最大利潤(rùn)是$\frac{3}{5}\sqrt{a}$萬(wàn)元；
$\sqrt{a}$≥$\frac{3}{2}$，即a≥$\frac{9}{4}$時(shí)，t=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{9}{4}$，a-x=a-$\frac{9}{4}$最大利潤(rùn)是$\frac{9}{20}$+$\frac{1}{5}$a萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次根式在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意列方程，分類(lèi)討論，利用配方法求解．