Question

15．已知f（x）=x+ax^-1（a＞0），
（1）若f（1）=2且f（m）=5，求m²+m^-2的值；
（2）求實(shí)數(shù)a的范圍使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）可由f（1）=2得到a=1，而根據(jù)f（m）=5便可得到m+m^-1=5，該式兩邊平方便可得出m²+m^-2的值；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）•\frac{{x}_{1}{x}_{2}-a}{{x}_{1}{x}_{2}}$，從而可以得到a＜x₁x₂在（1，+∞）上恒成立，而x₁x₂＞1，從而得到a≤1，這便得出了實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：（1）由f（1）=2得a=1；
∴f（x）=x+x^-1；
由f（m）=5得m+m^-1=5；
∴（m+m^-1）²=25；
即m²+m^-2+2=25；
∴m²+m^-2=23；
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂，則：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{a}{x_1}-{x_2}-\frac{a}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{a（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-a}}{{{x_1}{x_2}}}$；
因?yàn)閒（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)；
所以$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-a}}{{{x_1}{x_2}}}$＜0，由1＜x₁＜x₂得x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴x₁x₂-a＞0在（1，+∞）上恒成立；
即a＜x₁x₂在（1，+∞）上恒成立；
又x₁x₂＞1，∴a≤1；
∴實(shí)數(shù)a的范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查已知f（x）求f（x₀）的方法，完全平方式的運(yùn)用，增函數(shù)的定義，作差的方法比較f（x₁），f（x₂）的大小，作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．