Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n
（Ⅰ）求a_n及S_n
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$（n∈N^*），若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：$\frac{1}{8}≤{T_n}＜\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，可得T_n，再由數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₃=7，a₅+a₇=26，可得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，
則a_n=3+2（n-1）=2n+1；                    
S_n=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²+2n；                      
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
則b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，
$又\frac{1}{8}={T_1}≤{T_n}，所以\frac{1}{8}≤{T_n}＜\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，同時(shí)考查不等式的證明，注意運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．