Question

10．若x，y滿(mǎn)足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x-5y+10≤0}\\{x+y-8≤0}\end{array}\right.$，則z=|x-3|+2y的最小值為$\frac{26}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x≥3得z=x-3+2y得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+3}{2}$，
當(dāng)x≤3得z=-（x-3）+2y得y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-3}{2}$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
當(dāng)x≥3時(shí)，平移y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+3}{2}$，由圖象知當(dāng)直線(xiàn)y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+3}{2}$，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線(xiàn)的截距最小，同時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-5y+10=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{13}{5}}\end{array}\right.$，即D（3，$\frac{13}{5}$），此時(shí)z=|3-3|+2×$\frac{13}{5}$=$\frac{26}{5}$

當(dāng)x≤3平移y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-3}{2}$，由圖象知當(dāng)直線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-3}{2}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線(xiàn)的截距最小，同時(shí)z最小，
此時(shí)z=|3-3|+2×$\frac{13}{5}$=$\frac{26}{5}$，
綜上=|x-3|+2y的最小值為$\frac{26}{5}$，
故答案為：$\frac{26}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．