Question

1．設F是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$的左焦點，過點F且傾斜角為150°的直線l交橢圓E于M，N兩點，連接MO（O為坐標原點）并延長交橢圓于P，則△MNP面積為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 5
• C． $\frac{15}{2}$
• D． 10

Answer 1

分析 求出直線l的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得8x²-12x-33=0，由此利用韋達定理、橢圓對稱性、點到直線距離、橢圓弦長公式能求出△MNP面積．

解答 解：∵F是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$的左焦點，∴F（2，0），
∵過點F且傾斜角為150°的直線l交橢圓E于M，N兩點，
∴直線l的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得8x²-12x-33=0，解得x=$\frac{3±5\sqrt{3}}{4}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{3}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{33}{8}$，
不妨設x₂=$\frac{3-5\sqrt{3}}{4}$，則N（$\frac{3-5\sqrt{3}}{4}$，$\frac{15+5\sqrt{3}}{12}$），
∵連接MO（O為坐標原點）并延長交橢圓于P，
∴P（$\frac{5\sqrt{3}-3}{4}$，-$\frac{15+5\sqrt{3}}{12}$），
∴點P到直線MN的距離d=$\frac{|\frac{5\sqrt{3}-3}{4}-\frac{15\sqrt{3}+15}{12}-2|}{2}$=2，
|MN|=$\sqrt{\frac{4}{3}[（\frac{3}{2}）^{2}-4×（-\frac{33}{8}）]}$=5，
∴△MNP面積S=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{1}{2}×5×2$=5．
故選：B．

點評 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、橢圓對稱性、點到直線距離、橢圓弦長公式的合理運用．