Question

8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等比數(shù)列，且（2a-c）cosB=bcosC
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得：（2a-c）$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=b$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：a²+c²-b²=ac，由余弦定理可求cosB，結(jié)合B的范圍即可得解B的值．
（Ⅱ）由b²=ac，利用正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{sinB}$，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由余弦定理可得：（2a-c）$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=b$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等比數(shù)列，可得：b²=ac，
∴由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sinCcosA+sinAcosC}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．