Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n＞0，S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²（n∈N₊），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2（{2}^{{a}_{n}}-1）}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
①求證：$\frac{_{n}}{{S}_{n}}$≤$\frac{1}{n•{4}^{n-1}}$；
②求證：1≤T_n＜$\frac{16}{9}$．

Answer 1

分析 （1）a_n＞0，S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²（n∈N₊），可得：當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
可得a_n-a_n-1=2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）①S_n=n²．b_n=$\frac{n}{{2}^{2n-1}-1}$，可得$\frac{_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（\frac{{4}^{n}}{2}-1）}$≤$\frac{1}{n×{4}^{n-1}}$．
②數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2-1}$+$\frac{2}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{n}{{2}^{2n-1}-1}$≥T₁=1．由于b_n=$\frac{n}{{2}^{2n-1}-1}$＜$\frac{n}{{4}^{n-1}}$（n＞1），可得T_n＜1+$\frac{2}{4}+\frac{3}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n-1}}$=A_n，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）解：∵a_n＞0，S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²（n∈N₊），
∴當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²-$（\frac{{a}_{n-1}+1}{2}）^{2}$，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）證明：①S_n=n²．
b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2（{2}^{{a}_{n}}-1）}$=$\frac{2n}{2（{2}^{2n-1}-1）}$=$\frac{n}{{2}^{2n-1}-1}$，
∴$\frac{_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（{2}^{2n-1}-1）}$=$\frac{1}{n（\frac{{4}^{n}}{2}-1）}$≤$\frac{1}{n×{4}^{n-1}}$．
②數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2-1}$+$\frac{2}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{n}{{2}^{2n-1}-1}$≥T₁=1，
∵b_n=$\frac{n}{{2}^{2n-1}-1}$＜$\frac{n}{{2}^{2n-2}}$=$\frac{n}{{4}^{n-1}}$（n＞1），
∴T_n＜1+$\frac{2}{4}+\frac{3}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n-1}}$=A_n，
$\frac{1}{4}{A}_{n}$=$\frac{1}{4}+\frac{2}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{4}^{n-1}}$+$\frac{n}{{4}^{n}}$，
∴$\frac{3}{4}{A}_{n}$=$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}-\frac{n}{{4}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{n}{{4}^{n}}$＜$\frac{4}{3}$，
∴A_n$＜\frac{16}{9}$，
∴T_n$＜\frac{16}{9}$．
綜上可得：1≤T_n＜$\frac{16}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．