Question

13．已知f（x）是遞增的一次函數(shù)，且滿足f（x）f（x+1）=4x²-1，若點（n，a_n）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=（a_n+1）×2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用待定系數(shù)法求f（x），設(shè)f（x）=kx+b（k＞0），結(jié)合條件，可得k，b的方程，解方程可得k=2，b=-1，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求得b_n=2n•2^2n-1=n•4ⁿ，再由錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．

解答 解：（1）f（x）是遞增的一次函數(shù)，設(shè)為f（x）=kx+b（k＞0），
即有（kx+b）（kx+k+b）=4x²-1，
可得k²=4，2kb+k²=0，kb+b²=-1，
解得k=2，b=-1，即f（x）=2x-1，
由題意可得a_n=2n-1；
（2）b_n=（a_n+1）×2${\;}^{{a}_{n}}$
=2n•2^2n-1=n•4ⁿ，
即有前n項和T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ，
4T_n=1•4²+2•4³+3•4⁴+…+n•4ⁿ⁺¹，
相減可得，-3T_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹
化簡可得前n項和T_n=$\frac{4+（3n-1）•{4}^{n+1}}{9}$．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，以及等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．