Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}），x∈R$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）設(shè)m為實(shí)常數(shù)，若在開區(qū)間（0，π）內(nèi)f（x）=m有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的值域，得出結(jié)論．
（2）由條件可得在開區(qū)間（0，π）內(nèi)，y=f（x）的圖象和直線y=m有且只有1個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論．

解答 解：（1）對于函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}），x∈R$，它的周期為2π，值域?yàn)閇-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．
（2）∵在開區(qū)間（0，π）內(nèi)f（x）=m有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故在開區(qū)間（0，π）內(nèi)，
y=f（x）的圖象和直線y=m有且只有1個(gè)交點(diǎn)．
由x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），可得sin（x-$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
結(jié)合圖象可得m=$\sqrt{2}$，或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．