Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0，若a＜b＜c，且函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（m，n），則n-m的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （$\frac{3}{2}$，3）
• C． （1，3）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率可得a+b+c=0，由a＜b＜c，可得a＜0，b＞0，求出-$\frac{1}{2}$＜$\frac{c}{a}$＜-2，由f′（1）=0得到方程有一根為1，設(shè)出另一根，根據(jù)韋達(dá)定理可表示出另一根，根據(jù)求出的范圍求出另一根的范圍，令導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式的解集應(yīng)該為x大于另一根小于1，所以n-m就等于1減另一根，求出1減另一根的范圍即可．

解答 解：f'（x）=ax²+bx+c，
由圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0，
得f'（1）=0，即a+b+c=0，
由a＜b＜c知：c＞0，a＜0．
由a＜b=-a-c＜c，得-$\frac{1}{2}$＜$\frac{c}{a}$＜-2，
由f'（1）=0知：方程f'（x）=0即ax²+bx+c=0的一根為1，
設(shè)另一根為x₀，則由韋達(dá)定理，得x₀=$\frac{c}{a}$．
由a＜0，令f'（x）=ax²+bx+c＞0，得x₀＜x＜1，
則[m，n]=[x₀，1]，從而n-m=1-x₀∈（$\frac{3}{2}$，3），
故選B．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，以及二次方程的韋達(dá)定理，屬于中檔題．