Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，若x₁＜x₂=f（x₂），則f（x）=x₁的解的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，通過(guò)函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性判斷方程解的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=3x²-2ax-b=（x-x₁）（x-x₂），
即為3x²-2ax-b=0有兩個(gè)不相等的正根x₁，x₂，
∵x₁＜x₂，∴此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂
即有x＜x₁，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，x₁＜x＜x₂，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)
x₂＜x，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，x=x₂，函數(shù)取得極小值，
∵x₁＜x₂=f（x₂），∴f（x）=x₁＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在x∈（-∞，f（x₂））時(shí)，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，
f（x）=x₁的解的個(gè)數(shù)為：1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個(gè)數(shù)，考查了函數(shù)與方程的思想方法、推理能力、計(jì)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．