Question

5．己知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}|x-5|（x≠5）}\\{3，（x=5）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）-3=0有五個不等實根 x₁，x₂，…，x₅，若f（x₁），f（x₂），（x₃），f（x₄），f（x₅）中最大值與最小值之和為T，則f（T）的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． log₃2
• D． log₃4

Answer 1

分析 由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=5對稱，利用換元法求出方程的兩個根，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-5|，（x≠5）}\\{3\;，（x=5）}\end{array}\right.$，故有f（5）=3．
根據(jù)當(dāng)x＞5時，f（x）=log₅（x-5），當(dāng)x＜5時，f（x）=log₅（5-x），
作出函數(shù)f（x）的圖象，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=5對稱．
f（x）=3時，方程f（x）=3有3個根，當(dāng)f（x）=t，（t≠3）時，方程有2個不同的根，
∵關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）-3=0有五個不等實根x₁，x₂，…，x₅，
∴設(shè)t=f（x），則等價為t²+bt-3=0有兩個不同的根t=3，或t≠3，
則此時3²+3b-3=0得b=-2，
即t²-2t-3=0得t=3或t=-1，
則若f（x₁），f（x₂），（x₃），f（x₄），f（x₅）中最大值為3，最小值為-1，
則最大值與最小值之和為T=3-1=2，
則f（T）=f（2）=log₃|2-5|=log₃3=1，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)條件求出b=-2，并求出方程的根是解決本題的關(guān)鍵．