5.己知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}|x-5|(x≠5)}\\{3,(x=5)}\end{array}\right.$,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)-3=0有五個不等實根 x1,x2,…,x5,若f(x1),f(x2),(x3),f(x4),f(x5)中最大值與最小值之和為T,則f(T)的值為( 。
A.1B.2C.log32D.log34

分析 由函數(shù)的解析式可得,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=5對稱,利用換元法求出方程的兩個根,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

解答 解:∵已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-5|,(x≠5)}\\{3\;,(x=5)}\end{array}\right.$,故有f(5)=3.
根據(jù)當(dāng)x>5時,f(x)=log5(x-5),當(dāng)x<5時,f(x)=log5(5-x),
作出函數(shù)f(x)的圖象,可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=5對稱.
f(x)=3時,方程f(x)=3有3個根,當(dāng)f(x)=t,(t≠3)時,方程有2個不同的根,
∵關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)-3=0有五個不等實根x1,x2,…,x5,
∴設(shè)t=f(x),則等價為t2+bt-3=0有兩個不同的根t=3,或t≠3,
則此時32+3b-3=0得b=-2,
即t2-2t-3=0得t=3或t=-1,
則若f(x1),f(x2),(x3),f(x4),f(x5)中最大值為3,最小值為-1,
則最大值與最小值之和為T=3-1=2,
則f(T)=f(2)=log3|2-5|=log33=1,
故選:A

點評 本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系,關(guān)鍵是根據(jù)條件求出b=-2,并求出方程的根是解決本題的關(guān)鍵.

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