Question

3．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，對任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0．
1）證明：f（x）在R上是增函數(shù)；
2）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
3）若f（-1）=-2．求個等式f（a²+a-4）＜4的解集．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）利用賦值法即可求f（0）的值，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解不等式．

解答 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由已知f（x₂-x₁）＞0，
則f（x₂-x₁）=f[x₂-（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）令x=0，y=0，則f（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
令y=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)；
（3）∵f（-1）=-2．
∴f（1）=2
f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=4．
即不等式f（a²+a-4）＜4的等價為f（a²+a-4）＜f（2）．
∵函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
∴a²+a-4＜2．
即a²+a-6＜0．
解得-3＜a＜2，
即不等式的解集為（-3，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解集抽象函數(shù)的基本方法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義是判斷函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵．