Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓（x-m-1）²+（y-2m）²=4上有且只有兩個點到原點O的距離為3，則實數(shù)m的取值范圍為（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{2}{5}$）∪（0，2）．

Answer 1

分析 由已知得圓C：（x-m-1）²+（y-2m）²=4與圓O：x²+y²=9恰有兩個交點，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：圓（x-m-1）²+（y-2m）²=4上有且只有兩個點到原點O的距離為3，
∴圓C：（x-m-1）²+（y-2m）²=4與圓O：x²+y²=9恰有兩個交點，
圓C的圓心C（m+1，2m），半徑r₁=2，
圓O的圓心O（0，0），半徑r₂=3，
圓心距離|OC|=$\sqrt{（m+1）^{2}+（2m）^{2}}$=$\sqrt{5{m}^{2}+2m+1}$，
∴3-2＜$\sqrt{5{m}^{2}+2m+1}$＜3+2，
解得-$\frac{12}{5}$＜m＜-$\frac{2}{5}$或0＜m＜2．
∴實數(shù)m的取值范圍為（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{2}{5}$）∪（0，2）．
故答案為：（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{2}{5}$）∪（0，2）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點間距離公式及圓與圓的位置關(guān)系的合理運用．