Question

12．在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：x²+y²=1經(jīng)過(guò)伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后，變?yōu)榍�線C′．
（1）求曲線C′的方程；
（2）在曲線C′上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線x+2y-8=0的距離最小，求出最小值并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后，變?yōu)榍�線C′，可得曲線C′的方程；
（2）利用橢圓C′的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3cosϕ，2sinϕ），由點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)P到直線的距離，由三角函數(shù)知識(shí)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）曲線C′的方程為：${（\frac{x'}{3}）^2}+{（\frac{y'}{2}）^2}=1$，化簡(jiǎn)得：$\frac{{{{x'}^2}}}{9}+\frac{{{{y'}^2}}}{4}=1$．（4分）
（2）因?yàn)闄E圓C′的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3cosϕ}\\{y'=2sinϕ}\end{array}}\right.$，ϕ為參數(shù)，
所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3cosϕ，2sinϕ），（6分）
由點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)P到直線的距離為$d=\frac{{|{3cosϕ+4sinϕ-8}|}}{{\sqrt{5}}}$（7分）
=$\frac{{|{5（\frac{3}{5}cosϕ+\frac{4}{5}sinϕ）-8}|}}{{\sqrt{5}}}$=$\frac{{|{5cos（θ-ϕ）-8}|}}{{\sqrt{5}}}$．（10分）
由三角函數(shù)知識(shí)知，當(dāng)θ-ϕ=0時(shí)，d取最小值$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．（12分）
此時(shí)ϕ=θ，$cosϕ=cosθ=\frac{3}{5}$，$sinϕ=sinθ=\frac{4}{5}$．（13分）
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$3×\frac{3}{5}$，$2×\frac{4}{5}$），即（$\frac{9}{5}$，$\frac{8}{5}$）．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線與方程，考查橢圓的參數(shù)方程，考查三角函數(shù)知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．