Question

20．己知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
（1）?x∈R，函數(shù)f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）有最大值1，求函數(shù)f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的單調(diào)區(qū)間；
（2）?x∈R，都有f（x）≥|x|成立，求4a-b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）令t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$，可得t∈（2，3]，且t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$在（-∞，0]上為增函數(shù)，在[0，+∞）上為減函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的單調(diào)區(qū)間；
（2）?x∈R，都有f（x）≥|x|成立，可得當(dāng)x≤0時(shí)，b≤-1，或$\left\{\begin{array}{l}b＞-1\\ 4a-{（b+1）}^{2}≥0\end{array}\right.$；當(dāng)x＞0時(shí)，b≥1，或$\left\{\begin{array}{l}b＜1\\ 4a-{（b-1）}^{2}≥0\end{array}\right.$，進(jìn)而得到4a-b²的最小值．

解答 解：（1）令t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
則t∈（2，3]，且t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$在（-∞，0]上為增函數(shù)，在[0，+∞）上為減函數(shù)；
由函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0），可得f（0）=1，
若?x∈R，函數(shù)f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）有最大值1，則f（3）=1，
則函數(shù)f（x）在（2，3]上為增函數(shù)，
故函數(shù)f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0]，單調(diào)遞減區(qū)間為[0，+∞）；
（2）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）≥|x|可化為：ax²+（b+1）x+1≥0，則$-\frac{b+1}{2}≥0$，或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b+1}{2}＜0\\ \frac{4a-{（b+1）}^{2}}{4a}≥0\end{array}\right.$，即b≤-1，或$\left\{\begin{array}{l}b＞-1\\ 4a-{（b+1）}^{2}≥0\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥|x|可化為：ax²+（b-1）x+1≥0，則$-\frac{b-1}{2}≤0$，或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b-1}{2}＞0\\ \frac{4a-{（b-1）}^{2}}{4a}≥0\end{array}\right.$，即b≥1，或$\left\{\begin{array}{l}b＜1\\ 4a-{（b-1）}^{2}≥0\end{array}\right.$，
則b≤-1時(shí)，4a-（b-1）²≥0，即4a-b²≥1-2b≥3；
-1＜b＜1時(shí)，4a-（b-1）²≥0且4a-（b+1）²≥0，即4a-b²≥1-2b≥3且4a-b²≥1+2b≥3；
b≥1時(shí)，4a-（b+1）²≥0，即4a-b²≥1+2b≥3；
綜上可得4a-b²的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．